Dividir para conquistar (ou não...)

Em 1980, William J. O'Donnell, professor de matemática em uma escola do Colorado, estava explicando que

quando um estudante levantou a mão e disse que havia notado que

“Minha reação imediata”, escreveu O'Donnell em uma carta à revista especializada Mathematics Teacher [Professor de Matemática], “foi responder que esse estudante havia caído em um caso especial, onde esse algoritmo funcionava. No entanto, mais tarde, um trabalho de questão de minutos revelou que essa técnica funciona para todas as frações, desde que a, b, c e d sejam inteiros. Assim:

“Embora esse método possa ser convenientemente aplicado em qualquer ocasião, ele não oferece muitas vantagens ao estudante quando a não é divisível por c e b não é divisível por d.”

A-π-calipse

Ao longo do século XIX, vários autores anunciaram, cheios de confiança, que haviam encontrado um valor certo e exato de piiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii pi. Infelizmente, houve bastante divergência, pois cada um deu a sua resposta. Buscando resolver de uma vez por todas o problema de π, DUDLEY (1977), matemático da DePauw University, resolveu procurar um consenso através da análise de uma seleção de 50 valores de π ordenados pelo ano do anúncio:

É mais ou menos por aí: 3,04862 < π < 3,200000

Surpreendentemente, Underwood Dudley descobriu uma tendência preocupante: o valor de π está diminuindo. Para encontrar o valor de pi para cada ano, Dudley usou a fórmula π_t = 4,59183 – 0,000773_t, onde t é o ano do cálculo do valor exato de pi. Fazendo as continhas, verifica-se que 1876 foi o ano com o pico do pi, co’ pi mais exato: 3,145926535. Desde então — admitindo-se um ritmo constante, é claro — o valor de π vem declinando. 

Para ser bem claro, isso pode ter consequências estrogonoficamente catastróficas:

Quando π_t for igual a 1, [alerta Dudley] a circunferência de um círculo será igual ao seu diâmetro. Assim, todos os círculos vão entrar em colapso. O mesmo ocorrerá com as esferas (uma vez que elas têm secções circulares), entre elas a Terra e o Sol. Será, de fato, o fim do mundo, que vai acontecer em 9 de agosto de 4646, exatos 3 minutos em 27 segundos antes das 9 da manhã.

Entretanto, há uma boa notícia (pelo menos para os seus netos): “Será particularmente fácil calcular circunferências de círculos em 2059, quando π_t= 3”. A cotação de π para 2011 é π ₂₀₁₁= 3,032737.

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Bibliografia

• DUDLEY, Underwood. “π_t”, artigo publicado em Journal of Recreational Mathematics 9:3, março de 1977, p. 178 

De Dase a Lemaire

Quais os maiores números que você já multiplicou de cabeça? Certa vez o jovem alemão Johann Martin Zacharias Dase (1824-1861) teria multiplicado dois números de 100 dígitos. De cabeça. Ele levou 8 horas e 45 minutos para terminar a operação. Entretanto, outro prodígio matemático, Gauss (1777-1855), estimou que um matemático hábil, usando apenas papel e lápis, levaria só metade daquele tempo para cumprir a mesma tarefa de Dase. Mas Zacharias não era um matemático e mal aprendeu o básico de teoria matemática quando tentaram lhe ensinar. 

Zacharias Dase: “Eu não preciso de lápis e papel. Beijos.”

Ele simplesmente contava, com uma rapidez incrível. Aliás, ele talvez nem contasse. Segundo Douglas Hofstadter em Gödel, Escher, Bach, “[...] ele tinha um senso de quantidade sisnistro. Isso é, ele podia apenas ‘dizer’, sem contar, quantas ovelhas ovelhas havia num campo ou quantas palavras em uma sentença e assim por diante [...]”

Da arca do velho

Os animais embarcam na arca, gravura do holandês Maerten van Heemskerck, c. 1560

As primeiras edições da Encyclopedia Britannica estavam tão certas da realidade da Arca de Noé que, dentro do respectivo verbete, chegavam ao ponto de especular como os animais poderiam ter sido alimentados e acomodados em tal embarcação:

[O] Bispo Wilkins calcula que todos os animais carnívoros equivalem, em termos de volume de seus corpos e à sua alimentação, a 27 lobos; e todos os que restam a 280 cabeças de gado. Para aqueles, ele provê 1825 ovelhas e para estas, 109.500 cúbitos de feno. Tudo isso poderia ser facilmente contido nos dois primeiros andares e ainda haveria bastante espaço livre.

Essa especulação — não muito diferente das abordagens “sob condições ideais de temperatura e pressão” de certos problemas de Física do Ensino Médio — é encontrada na edição de 1797 da Britannica. Nos anos 1860, quando se deram conta de que uma arca não seria capaz de acomodar todas as espécies do mundo, os editores passaram a sugerir que o dilúvio não teria sido assim tão universal: apenas as partes da Terra sob ocupação do homem teriam sido inundadas. 

Na edição de 1911, a história de Noé já era integralmente apresentada como um mito. Ironicamente, meio século mais tarde, a enciclopédia inglesa relatava até as “muitas engenhosas e curiosas teorias” que haviam sido publicadas a favor da Arca de Noé ao longo dos séculos.

A Mosca Supersônica de Townsend

O Cheetah (ou Guepardo) pode alcançar velocidades de mais de 70 milhas por hora [112 km/h]. Em um mergulho, o Falcão-Peregrino pode chegar a 200 mph [322 km/h]. Mas, em 1927, o entomologista Charles Townsend (1859-1944) estimou que uma espécie de mosca-varejeira que ele observou no Novo México voaria a 400 jardas [365 metros] por segundo — o que equivale a 818 mph [1316 km/h]. Seria o suficiente não apenas para ultrapassar os dois animais mais velozes mas a própria barreira do som: 1226 km/h.

Por mais incrível que pareça, o suposto recorde de velocidade animal resitiu por longos 11 anos. Só caiu em 1938, quando o químico Irving Langmuir (1881-1957) detonou a estimativa de Townsend em um minucioso artigo publicado na Science. Entre outras coisas mais óbvias, Mr. Langmuir — laureado com o Nobel de Química em 1932 — apontava os seguintes contras para o recorde da varejeira:

Em uma palavra [57]

quilíade

s.f. 1. um grupo de 1000, um milhar; 2. um período de mil anos, um milênio. Quiliástico, adj. “Uma quilíade de manifestantes”; “Um inverno quiliástico” [do grego kilos, mil; cf. miríade, grupo de dez mil]

O século XIX inteiro. E ponto final.

Dentre os muitos livros de história do cristianismo publicados no século XIX, History of the Church of God: from Creation to A.D. 1885 [História da Igreja de Deus: da Criação a 1885 A.D.] é notável por seu estilo prolixo. Publicado em 1886, o livro de Cushing Biggs Hassell não é apenas um calhamaço com umas mil páginas. Ele contém o que se considera a mais longa sentença já escrita em um livro. É simplesmente o quinto parágrafo do capítulo XIX, que trata, justamente, do século XIX.

The nineteenth is the century of the rise and fall of Napoleon Bonaparte, in a long series of bloody and demoralizing European wars; the […]

[Enigma] É dando que se recebe

Alex e Breno estão viajando quando eles encontram Caio. O Alex tem cinco pães e o Breno, três. O Caio não tem nenhum pão, mas está com fome. Por isso, ele pediu aos companheiros que compartilhassem o que tinham e prometeu pagar-lhes 8 moedas de ouro assim que chegassem à próxima cidade.

O acordo é aceito e o pão é dividido igualmente entre eles. Quando eles chegam na próxima cidade, o Caio dá 5 moedas de ouro para o Alex e 3 para o Breno.

“Perdoe-me”, reclamou Alex, “Isso não é muito justo.” Ele propõe outra forma de dividir a recompensa, que é considerada justa tanto por Breno quanto por Carlos.

O desafio é: Como eles dividiram as oito moedas de ouro?

A Divertida História da “Bíblia” Nerd

Quase todo mundo já usou o random mode em alguma coisa, seja no mp3-player, na Wikipédia ou em qualquer blog que tenha o recurso disponível.

Hoje nos parece tão simples gerar números randomizados que ninguém mais se lembra dos maus e velhos tempos onde tudo tinha que ser feito à mão. Muito antes de a internet e do random.org existirem, entre os anos 1920 e 1950, diversos livros foram publicados contendo apenas tabelas números aleatórios. Esses números eram usados principalmente para pesquisas estatísticas e criptográficas — ou, o que talvez fosse mais comum, inventar dados numéricos para trabalhos na faculdade.

Londres Cosmopolita

Não é de hoje que vem a fama de cosmopolita de Londres. Antes mesmo de ser sede de um império global, Londres já podia se considerar uma cidade globalizada:

Sabemos de um certificado do Bispo de Londres que, em Dezembro de 1567, em Londres e adjacências, ou locais agora inclusos sob a palavra “Londres”, havia 3838 Holandeses; 720 Franceses; 137 Italianos; 14 Venezianos; 56 Espanhóis; 25 Portugueses; 2 Gregos; 2 Mouros; 1 Dinamarquês e 58 Escoceses, num total de 4851 estrangeiros.

— Ten thousand wonderful things [Dez mil maravilhas], 1860

Tomando por bases as estimativas populacionais de 1530 (50.000 hab.) e 1605 (225.000 hab.) e supondo uma média de uns 2.000 hab. a mais por ano, em 1567 Londres deveria ter cerca de 85.000 habitantes. Os estrangeiros não passavam de 6% da população londrina.

O tempo passou, Londres foi o maior porto da Europa, se tornou a metrópole do maior império colonial do planeta e ainda é uma das capitais financeiras do mundo.

Hoje a capital do Reino Unido tem mais de 7 milhões de habitantes e mais de 50 comunidades estrangeiras com mais de 10.000 pessoas — no total, um terço da população nasceu em outro país.

Atualmente, segundo estimativas diversas, os 10 grupos mais numerosos são: Russos (300.000), Sul-Africanos (200.000), Indianos, (170.000), Irlandeses (160.000), Ugandenses (150.000), Brasileiros (130.000), Iraquianos (125.000) e Quenianos, Poloneses e Filipinos (120.000).

11111011010 já era!

O último post do ano não poderia ser diferente. É chato, é sinônimo de preguiça de quem faz, mas... todo mundo gosta de uma retrospectiva.

Antes, porém, uma dose de entusiasmo, por favor. Neste ano esse blog deslanchou, explodiu, inflacionou! Foram 278 postagens (um crescimento ultra-chinês: 237,93%), numa base quase diária. Mais ou menos como fizemos em nosso retrospecto do ano passado, aí vai um texto-resumo dos capítulos anteriores:

Faster-than-light

A pressa é inimiga da perfeição. O entusiasmo, também. Quando a velocidade da luz começou a ser medida, no fim do século XIX, não faltavam comentários entusiásticos nas jovens revistas de divulgação científica, como a francesa La Science Populaire:

A luz cruza o espaço com a prodigiosa velocidade de 6.000 léguas por segundo. (La Science Populaire, Abril de 1881)

Seis mil léguas luminosas? Isso dá cerca de 33.336 km/s, o que é pouco mais de 10% do valor atualmente aceito para a velocidade da luz (299.792 km/s). Obviamente, o erro não estava na velha légua e foi corrigido de maneira mais ou menos poética:

Um erro tipográfico caiu em nosso último número e é importante corrigi-lo: a velocidade da luz é de 76.000 léguas por hora — não 6.000. (LSP, Maio de 1881)

Opa! 76.000 léguas dá 422.256 quilômetros. Não, esse valor 40% acima do que conhecemos hoje não é um erro, por causa da falta de precisão dos equipamentos da época. Além disso, previa-se um valor de c maior do que se foi verificado realmente. Mas há outro erro na errata acima: dessa vez o valor foi apresentado corretamente, mas em léguas por hora!

Isso não passou despercebido e três meses depois, sem muito entusiasmo, a Le Science Populaire finalmente informou o valor correto da velocidade da luz:

Uma nota corrigindo um erro apareceu em nosso número 68 indicava que a velocidade da luz é de 76.000 léguas por hora. Nossos leitores corrigiram esse novo erro: a velocidade da luz é aproximadamente 76.000 léguas por segundo. (LSP, Junho de 1881)

O Segredo de Fermat

Certa vez, Marsenne escreveu para Fermat, perguntando se 100.895.598.169 era um número primo ou não.

Fermat respondeu imediatamente, dizendo que aquele número era primo, pois é o produto de dois primos: 898.423 e 112.303.

Até hoje ninguém sabe como ele sabia disso ou como descobriu. Será que Fermat levou para o túmulo uma poderosa técnica de fatoração (ou seria fermatação?) ainda desconhecida?

Mais simples do que parece

Para multiplicar 1.639.344.262.295.081.967.213.114.754.098.360.655.-737.704.918.032.787 por 71, tudo o que você deve fazer é colocar outro 1 no começo e outro 7 no final.

— Samuel Isaac Jones, Mathematical Wrinkles [Estrias Matemáticas], 1929

E a lição de casa é deixar um comentário com os números envolvidos na operação escritos por extenso...

Anos incríveis

Se você tem mais de 18 anos, parabéns! Sim, por que embora você não tenha percebido (ou talvez não se lembre), você viveu em dois anos palindrômicos: 1991 e 2002. Matematicamente falando, é um grande privilégio, pois as pessoas não vivem o bastante para passar por dois anos “espelhados”.

Desde 1001, o intervalo normal entre um ano-palíndromo e outro tem sido de 110 anos (tipo 1661-1771). O intervalo 10 vezes mais curto entre 1991-2002 foi a única exceção do último milênio. Agora estamos de volta aos períodos de 110 anos (o próximo ano-palíndromo será 2112). Outra "janela" de 11 anos apenas daqui a um milênio: 2992-3003.

Aliás, onde você estava em seus dois anos-palíndromos? O que de mais importante aconteceu com você naqueles anos?

Em 1991, quando eu tinha 3 anos, ganhei minha Tata irmã caçula, aprendi a nadar e meu pai comprou uma filmadora VHS. Onze anos mais tarde, eu estava terminando a 8ª. Série, gastando minha mesada com Quatro Rodas e SuperInteressante e descobrindo a Internet (discada, é claro).

Contradições Bíblicas — Matusalém e o dilúvio

 O Dilúvio, segundo o ilustrador francês Gustave Doré

Em De Civitate Dei [A Cidade de Deus], Santo Agostinho levanta uma importante questão bíblica: Como Matusalém sobreviveu ao dilúvio? De acordo com a Septuaginta, versão grega da Bíblia, o patriarca já era bem velho quando Noé nasceu; tinha 355 anos de idade. O dilúvio aconteceu 600 anos mais tarde. Portanto, Matusalém ainda estava vivo, com 955 anos, quando o céu desabou — e ele viveu mais 14 anos, falecendo aos 969 anos. Só que Matusalém não estava na arca de Noé e a hecatombe pluviométrica matou todos os demais seres vivos — entre os quais, segundo os criacionistas, encontravam-se também os dinossauros.

Então, como é que Matusalém sobreviveu? Nunca houve uma resposta oficial dessa "celebrada questão que tem sido publicamente divulgada por todas as igrejas", nas palavras de S. Jerônimo. Em vez disso, culparam (e talvez condenaram à danação eterna) os tradutores gregos pelo erro bíblico. Textos mais recentes, baseados diretamente dos manuscritos hebraicos massoréticos relatam que Matusalém morreu no ano do dilúvio.

Estranhas unidades de medida

O mundo da ciência, com seu rigor matemático, é dominado por unidades de medida. Para garantir uma exatidão ainda maior, todas as unidades têm seus múltiplos e submúltiplos de dez denominados por um sistema padronizado de prefixos e sufixos. Entretanto, há algumas unidades de medida que fogem dos padrões:

• 1.2096 segundo ≈ 1 Microquinzena
• π segundos ≈ 1 Nanosséculo
• 3,085 centímetros ≈ 1 attoparsec
• 2 mm² ≈ 1 nanoacre
• 2.263348517438173216473 milímetros ≈ 1 potrzebie (definido como a espessura do número 23 da MAD magazine.)

Além disso, após o lançamento de Jurassic Park, alguns paleontólogos começaram a medir o consumo de comida dos Tyranosaurus rex em Advogados. Segundo seus cálculos, se um advogado pesa 68 quilos, um T. rex de sangue quente deveria comer 292 Advogados por ano. Se o T. rex tivesse sangue frio, comeria 73 Advogados/ano. Como advogado é uma raça que não está em extinção, presume-se que os Tiranossauros eram animais de sangue frio.

Depois dizem que não existe Humor na Ciência.

Orçamento de "Avatar"

Eu não ia comentar sobre Pocahontas Smurf Avatar depois de tanto bafafá. Mas não resisti. Eis a divisão orçamentária do primeiro hype de 2010:

Em azul, para combinar com aqueles smurfs crescidos

Mais de 300 milhões de dólares pra fazer smurfs crescer? O James Cameron gosta de torrar fortunas com histórias bobinhas. Ou vocês não se lembram do nauseante Titanic?

Fica a Dica (4) — Converta Km para Milhas e vice-versa

Já tentou imaginar quantos quilômetros há em 5 milhas? Ou quantas milhas são 100 km? Já tentou ter uma ideia de qual seria a milhagem que o odômetro do seu carro marcaria se usasse milhas?

Não é uma conta difícil de fazer. E nem precisa usar o Google!

Assaltante Ninja, né?

Em 10 de dezembro de 1968, um homem uniformizado pulou diante de um carro-forte em Tóquio, no Japão. Ele explicou que tinha recebido um alerta da polícia de que o veículo tinha sido sabotado com explosivos. O carro-forte levava dinheiro para o 13º. salário dos funcionários da Toshiba e quatro passageiros. Os quatro saíram e viram o homem de uniforme se arrastar pra baixo do carro-forte.

Depois de passar um momento lá embaixo, o homem saiu, gritando que o carro estava prestes a explodir. Os ex-passageiros fugiram correndo e ele entrou no carro-forte e também fugiu, dirigindo.

Assim, um único homem, agindo sozinho, desarmado e sem ferir ninguém roubou exatos 294.307.500 de ienes (mais de 5,5 milhões de reais em valores atuais) em plena luz do dia. Ainda é o maior assalto bancário da história do Japão. O ladrão jamais foi capturado.