Rodando e rodando!

Suponha que tenhamos um círculo pequeno rolando no interior de um círculo maior, com o dobro do diâmetro do menor, conforme a ilustração acima. Se seguirmos a trajetória descrita por um ponto do círculo menor, qual  entidade geométrica será desenhada?

Não seja preguiçoso! Tente resolver o problema antes de ver a resposta a seguir. Dica: esse problema teve uma aplicação prática que revolucionou o século XIX.

Todos os triângulos são iguais

Ou, pelo menos, todos os triângulos são isósceles. A seguinte prova é de ninguém menos que Lewis Carroll:

Seja ABC qualquer triângulo. Seccione BC em D e a partir de D trace DE em ângulo reto com BC. Seccione o ângulo BAC.

(I) Se a bissetriz não se encontrar com DE, [as linhas] são paralelas. Portanto, a bissetriz está em ângulo reto com BC. Logo AB = BC, i.e., ABC é isósceles.

(II) Se a bissetriz encontra DE, ela o faz no ponto F. Ligue FB, FC e a partir de F trace FG e FH em ângulos retos com AC e AB.

Logo, os triângulos AFG e AFH são iguais, pois eles têm o lado AF em comum e os ângulos FAG e AGF são iguais aos ângulos FAH e AHF. Portanto, AH = AG e FH = FG.

Similarmente, os triângulos BDF e CDF são iguais pois BD = BC, com DF em comum e os ângulos em D são iguais.

Similarmente, os triângulos FHB e FGC são retângulos. Logo, o quadrado de FB = a [soma dos] quadrados de FH e HB; e o quadrado de FC = a [soma dos] quadrados de FG e GC. Assim, FB = FC e FH = FG.

Portanto, o quadrado em HB = o quadrado em GC. Logo, HB = GC. Também se prova que AH é igual a AG. Portanto, AB = AC, i.e., ABC é isósceles.

Portanto o triângulo ABC é sempre isósceles. Q.E.D.